Юрий Соломин родился 18 июня 1935 года в городе Чита Восточно-Сибирского края (ныне административный центр Забайкальского края России) в семье музыкальных педагогов Зинаиды Ананьевны Рябцевой и Мефодия Викторовича Соломина.
В 1957 году, по окончании училища, был принят в труппу Малого театра. Начав с ролей эпизодических, молодой актёр вскоре стал играть ведущие роли в пьесах советского репертуара. Среди ролей, сыгранных актёром на сцене, — Хлестаков в гоголевском «Ревизоре», Федя Протасов в «Живом трупе» Льва Толстого, Войницкий в «Дяде Ване» Антона Чехова, Сирано де Бержерак по пьесе Эдмона Ростана и царь Фёдор в трагедии Алексея Толстого; с 1980 года работает в театре и как режиссёр.
С 1988 года является художественным руководителем Малого театра.
С 1961 года также преподаёт в Высшем театральном училище им. М. С. Щепкина. Профессор, проводит мастер-классы с иностранными студентами в Америке, Японии, Южной Корее.
В кинематографе дебютировал в 1960 году, исполнив главную роль в фильме «Бессонная ночь»; режиссёру Исидору Анненскому его рекомендовала Вера Пашенная. Всесоюзное признание актёру принесла роль Павла Кольцова в телевизионном фильме «Адъютант его превосходительства».
Он исполнил главные роли во многих известных картинах, в том числе в оскароносном фильме «Дерсу Узала» Акиры Куросавы, «Блокада», «Летучая мышь» и «ТАСС уполномочен заявить…». Однако любимыми киноролями называет Штубе в фильме Алексея Салтыкова «И был вечер, и было утро…» и Геттеля в «Сильных духом» Виктора Георгиева.
Как режиссёр снял телефильмы «Скандальное происшествие в Брикмилле» (1981), «Берег его жизни» (1985), «В начале было Слово» (1992) и фильм-спектакль «Таинственный ящик» по пьесе Петра Каратыгина (музыкальный телеспектакль Малого театра, премьера которого состоялась 4 мая 2003 года).
В апреле 2019 года Минкульт подписал с Соломиным бессрочный контракт на продолжение работы в должности худрука Малого театра.
В честь актёра назван астероид № 10054.
